如圖所示,在邊長為
的正方形
中,點
在線段
上,且
,
,作
,分別交
,
于點
,
,作
,分別交
,
于點
,
,將該正方形沿
,
折疊,使得
與
重合,構(gòu)成如圖所示的三棱柱
.
(1)求證:
平面
;
(2)求四棱錐
的體積;
(3)求平面
與平面
所成角的余弦值.
(1)在正方形
中,因為
,
所以三棱柱
的底面三角形
的邊
.
因為
,
,
所以
,所以
.
因為四邊形
為正方形,
,
所以
,而
,
所以
平面
.----------- 4分
(2)因為
平面
,所以
為四棱錐
的高.
因為四邊形
為直角梯形,且
,
,
所
以梯形
的面積為
.
所以四棱錐
的體積
.-----------8分
(3)由(1)(2)可知,
,
,
兩兩互相垂直.以
為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系
,、
則
,
,
,
,
,
所以
,
,
設(shè)平面
的一個法向量為
.
則
,即
.
令
,則
.所以
.
顯然平面
的一個法向量為
.
設(shè)平面
與平面
所成銳二面角為
,
則
.
所以平面
與平面
所成角的余弦值為
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,
,
,
,點M在線段EC上(除端點外)
(1)當點M為EC中點時,求證:
平面
;
(2)若平面
與平面ABF所成二面角為銳角,且該二面角的余弦值為
時,求三棱錐
的體積
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知|a|=|b|=2,
,則a 與b的夾角為______
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知集合
,則
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知空間三點
,則以AB,AC為邊的平行四邊形的面積
____
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在空間直角坐標系中,點
關(guān)于
平面對稱的點的坐標為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知四棱錐
的底面是正方形,
,且
,點
分別在側(cè)棱
、
上,且
。
(Ⅰ)求證:
;
(Ⅱ)若
,求平面
與平面
所成二面角的余弦值.
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