【題目】如圖,三棱柱ABC﹣DEF中,側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠ABE= ,BC= ,四棱錐F﹣ABED的體積為2,點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G,且G在AE上,點(diǎn)M是在線段CF上,且CM= CF.
(Ⅰ)證明:直線GM∥平面DEF;
(Ⅱ)求二面角M﹣AB﹣F的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:∵四棱錐錐F﹣ABED的體積為2, 即VFABCD= ,∴FG=
又BC=EF= ,∴EG= ,即點(diǎn)G是靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn).
過(guò)點(diǎn)G作GK∥AD交DE于點(diǎn)K,∴GK=
又MF= ,∴MF=GK且MF∥GK.
四邊形MFKG為平行四邊形,
∴GM∥FK,
∴直線GM∥平面DEF;
(Ⅱ)設(shè)AE、BD的交點(diǎn)為O,OB所在直線為x軸,OE所在直線為y軸,
過(guò)點(diǎn)O作平面ABED的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
A(0,﹣1,0),B( ,0,0),F(xiàn)(0,﹣ ),M( ).
,
設(shè)平面ABM,ABF的法向量分別為 ,
,則 ,取y=﹣ ,得 ,
同理求得
∴cos< >=
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值為

【解析】(Ⅰ)由四棱錐錐F﹣ABED的體積為2求出FG,進(jìn)一步求得EG,可得點(diǎn)G是靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn).過(guò)點(diǎn)G作GK∥AD交DE于點(diǎn)K,可得GK= .又MF= ,得到MF=GK且MF∥GK.則四邊形MFKG為平行四邊形,從而得到GM∥FK,進(jìn)一步得到直線GM∥平面DEF;(Ⅱ)設(shè)AE、BD的交點(diǎn)為O,OB所在直線為x軸,OE所在直線為y軸,點(diǎn)O作平面ABED的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ABM,ABF的法向量,由兩法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)為不同的兩點(diǎn),直線的方程為,設(shè),其中均為實(shí)數(shù).下列四個(gè)說(shuō)法中:

①存在實(shí)數(shù),使點(diǎn)在直線上;

②若,則過(guò)兩點(diǎn)的直線與直線重合;

③若,則直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn);

④若,則點(diǎn)在直線的同側(cè),且直線與線段的延長(zhǎng)線相交.

所有結(jié)論正確的說(shuō)法的序號(hào)是______________

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【題目】已知圓M過(guò)C(1,-1),D(-1,1)兩點(diǎn),且圓心M在x+y-2=0上.

(1)求圓M的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點(diǎn),求四邊形PAMB面積的最小值.

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【題目】如圖所示,在四棱錐平面,,.

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【題目】在平面內(nèi)將點(diǎn)A(2,1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) ,得到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

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【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種.若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如表:

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素

浮動(dòng)比率

A1

上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

A2

上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

A3

上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

A4

上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

A5

上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

A6

上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:

類型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車(chē)的投保類型的頻率代替一輛車(chē)投保類型的概率,完成下列問(wèn)題:
(Ⅰ)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車(chē)交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車(chē)交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定a=950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車(chē)在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
(Ⅱ)某二手車(chē)銷售商專門(mén)銷售這一品牌的二手車(chē),且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē).假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5000元,一輛非事故車(chē)盈利10000元:
①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛(車(chē)齡已滿三年)該品牌二手車(chē),求這三輛車(chē)中至多有一輛事故車(chē)的概率;
②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車(chē)齡已滿三年)該品牌二手車(chē),求他獲得利潤(rùn)的期望值.

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【題目】長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AA1AB=2,AD=1,點(diǎn)E、F、G分別是DD1、ABCC1的中點(diǎn).求異面直線A1EGF所成角的大。

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【題目】在考試測(cè)評(píng)中,常用難度曲線圖來(lái)檢測(cè)題目的質(zhì)量,一般來(lái)說(shuō),全卷得分高的學(xué)生,在某道題目上的答對(duì)率也應(yīng)較高,如果是某次數(shù)學(xué)測(cè)試壓軸題的第1、2問(wèn)得分難度曲線圖,第1、2問(wèn)滿分均為6分,圖中橫坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)段,縱坐標(biāo)為該分?jǐn)?shù)段的全體考生在第1、2問(wèn)的平均難度,則下列說(shuō)法正確的是(
A.此題沒(méi)有考生得12分
B.此題第1問(wèn)比第2問(wèn)更能區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的好與壞
C.分?jǐn)?shù)在[40,50)的考生此大題的平均得分大約為4.8分
D.全體考生第1問(wèn)的得分標(biāo)準(zhǔn)差小于第2問(wèn)的得分標(biāo)準(zhǔn)差

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【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來(lái),某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出下表數(shù)據(jù):

x

4

5

7

8

y

2

3

5

6

(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程

(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù).

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