Question

已知拋物線y=x²+2x+m與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑作圓．
（1）求m的取值范圍；
（2）求圓的方程；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)在圓的內(nèi)部，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),圓的一般方程

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）得出△=4-4m＞0，（2）運(yùn)用x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，|x₁-x₂|=

4-4m

=2

1-m

，求解圓心，半徑即可．
（3）運(yùn)用圓的方程（x+1）²+y²=1-m，得出（m-1）²＜1-m，求解即可．

解答： 解：（1）∵拋物線y=x²+2x+m與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，
∴△=4-4m＞0，
即m＜1，
故m的取值范圍：m＜1，
（2）∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，
∴|x₁-x₂|=

4-4m

=2

1-m

，
∴PQ為直徑作圓圓心為（-1，0），半徑

1-m

，
∴圓的方程：（x+1）²+y²=1-m，
（3）圓的方程：（x+1）²+y²=1-m，
拋物線的頂點(diǎn)（-1，m-1），
∵拋物線的頂點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
∴（m-1）²＜1-m，0＜m＜1，
故m的取值范圍：0＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)，圓的方程的求解，屬于中檔題，難度不大，知識(shí)運(yùn)用的較多．