【題目】如圖,在三棱柱中, 為邊長為2的等邊三角形,平面平面,四邊形為菱形, , 與相交于點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得,根據(jù)平面平面,可得平面,∴;(2)以為原點(diǎn),以所在直線分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組,求出平面與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得二面角的余弦值.
試題解析:(1)已知側(cè)面是菱形, 是的中點(diǎn),
∵,∴
因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面,
平面平面,
∴平面,∴
(2)如圖,以為原點(diǎn),以所在直線分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由已知可得, , ,
∴, , , ,
設(shè)平面的一個(gè)法向量
, ,
由, ,得
,可得
因?yàn)槠矫?/span>平面, ,
∴平面
所以平面的一個(gè)法向量是
∴
即二面角的余弦值是.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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【題目】已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,若雙曲線上存在點(diǎn),使,則該雙曲線的離心率范圍為( )
A. (1,1) B. (1,1) C. (1,1] D. (1,1]
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【題目】(本小題滿分12分)
已知數(shù)列的前項(xiàng)和,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令,是否存在,使得、、成等比數(shù)列.若存在,求出所有符合條件的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其公差為2,a2a4=4a3+1.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求.
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【題目】從原點(diǎn)向圓 作兩條切線,切點(diǎn)分別為,,記切線,的斜率分別為,.
(Ⅰ)若圓心,求兩切線,的方程;
(Ⅱ)若,求圓心的軌跡方程.
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【題目】(12分)已知p:方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根,q:方程
無實(shí)根,若為真,為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
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【題目】已知是等比數(shù)列,滿足,且成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為 , ,求正整數(shù)的值,使得對任意均有.
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【題目】如圖,已知過點(diǎn),圓心C在拋物線上運(yùn)動(dòng),若MN為在x軸上截得的弦,設(shè),,
當(dāng)C運(yùn)動(dòng)時(shí),是否變化?證明你的結(jié)論.
求的最大值,并求出取最大值時(shí)值及此時(shí)方程.
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