如圖,AB是圓O的直徑,C,D是圓O上兩點,AC與BD相交于點E,GC,GD是圓O的切線,點F在DG的延長線上,且DG=GF.求證:
(1)D、E、C、F四點共圓;
(2)GE⊥AB.
考點:圓內接多邊形的性質與判定,圓的切線的性質定理的證明
專題:幾何證明
分析:(1)如圖,連接OC,OD,則OC⊥CG,OD⊥DG,可得四點O,D,G,C共圓.設∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3,可得∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2.于是∠DGC=180°-∠DOC=2(∠1+∠2).利用切線長定理可得DG=CG,而DG=GF,可得GF=GC.從而可得∠F=∠1+∠2.可得∠DEC+∠F=180°,即可證明.
(2)延長GE交AB于H.由GD=GC=GF,可得點G是經過D,E,C,F(xiàn)四點的圓的圓心.可得GE=GC,∠GCE=∠GEC.又∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3,可得∠AEH+∠1=90°,進而得出證明.
解答:解:(1)如圖,連接OC,OD,則OC⊥CG,OD⊥DG,
∴四點O,D,G,C共圓.
設∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3,
∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2.
∴∠DGC=180°-∠DOC=2(∠1+∠2).
∵DG=GF,DG=CG.
∴GF=GC.
∴∠GCF=∠F.
∵∠DGC=2∠F,
∴∠F=∠1+∠2.
又∵∠DEC=∠AEB=180°-(∠1+∠2),
∴∠DEC+∠F=180°,
∴D,E,C,F(xiàn)四點共圓.
(2)延長GE交AB于H.
∵GD=GC=GF,
∴點G是經過D,E,C,F(xiàn)四點的圓的圓心.
∴GE=GC,
∴∠GCE=∠GEC.
又∵∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3,
∴∠GEC+∠3=90°,
∴∠AEH+∠1=90°,
∴∠EHA=90°,
即GE⊥AB.
點評:本題綜合考查了四點共圓的判定與性質、切線長定理、圓的切線的性質、互余角之間的關系、垂直的判定等基礎知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
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.
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.
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5
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x=
5
4
t2
y=t
(t∈R,t為參數(shù))上( 。
A、(1,
2
5
5
B、(-1,±
2
5
5
C、(1,
2
5
5
D、(1,±
2
5
5

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”為:,運算“”為:
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(     )
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