設(shè)正四面體ABCD的所有棱長都為1米，有一只螞蟻從點A開始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個頂點處等可能的選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，
（1）求它爬了4米之后恰好位于頂點A的概率
（2）求它爬了3米后經(jīng)過B的次數(shù)x的分布列和均值．
考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差
專題：概率與統(tǒng)計
分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，設(shè)這個四面體的四個頂點分別為ABCD，如果爬到第三次時，螞蟻在A點，第四次一定不在A點，設(shè)螞蟻第三次在A點的概率為p，那么最后的答案就是
1-p
3
，以此類推螞蟻第一次爬完之后在A點的概率為0，由此能得到結(jié)果．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
解答： 解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
假設(shè)這個四面體的四個頂點分別為ABCD，螞蟻從A開始爬．
如果爬到第三次時，螞蟻在A點，那么第四次就一定不在A點，
∴設(shè)螞蟻第三次在A點的概率為p，那么最后的答案就是
1-p
3
，①
設(shè)螞蟻第二次在A點的概率為q，那么最后的概率就是p=
1-q
3
，②
顯然螞蟻第一次爬完之后在A點的概率為0，
那么q=
1-0
3
，③
將③代入②，得p=
1-
1
3
3
=
2
9
，④
將④代入①得P=
1-
2
9
3
=
7
27
．
故它爬了4米之后恰好位于頂點A的概率為
7
27
．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=
2
3
×
2
3
×
2
3
+
2
3
×
2
3
×
2
3
=
16
27
，
P（X=1）=
1
3
×1×
2
3
+
2
3
×
1
3
×1+
2
3
×
2
3
×
1
3
=
8
27

P（X=2）=
1
3
×1×
1
3
=
1
9
，
∴X的分布列為：
 X 0 1 2
 P 
16
27
 
8
27
 
1
9
∴EX=0×
16
27
+1×
8
27
+2×
1
9
=
14
27
．
點評：本題考查等可能事件的概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查用方程思想解決概率的實際問題，本題是一個比較好的題目，題目的解法不是一個常規(guī)解法，需要認(rèn)真分析．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=x•e-x在x∈[2，4]上的最小值為（　�。�
A、0
B、
1
e
C、
4
e4
D、
2
e2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC滿足|AB|=4，O是△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足
OA
2=
OB
2=
OC
2，且
OA
+
OB
=λ
AC
，λ∈R，則
BO
•
BA
=（　�。�
A、8
2
B、8
C、4
2
D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列兩個條件：
（1）f（
x
+1）=x+2
x

（2）f（x）為二次函數(shù)且f（0）=3，f（x+2）-f（x）=4x+2，
試分別求出f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線L的參數(shù)方程是
x=
3
2
t+m
y=
1
2
t
（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線L的普通方程；
（2）設(shè)點P（m，0），若直線L與曲線C交于A，B兩點，且|PA|•|PB|=1，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，要把4種不同顏色的花分別種植到這5個區(qū)域中，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，一共有多少種種植方案？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
=（cosx，-1），
b
=（sinx-cosx，-1），函數(shù)f（x）=
a
•
b
-
1
2

（1）用五點作圖法畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和對稱中心的坐標(biāo)；
（3）求不等式f（x）≥
1
2
的解集； 
（4）如何由y=
2
2
sinx的圖象變換得到f（x）的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的定義域是[0，
1
4
），則函數(shù)y=f（sin2x）的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知∠α的終邊點（-2，1），則cos2α的值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案