(1)已知,求證:;
(2)已知,>0(i=1,2,3,…,3n),求證:
+++…+
(1)利用函數(shù)的單調(diào)性,alog3a+blog3b+clog3c≥-1當a=b=c=時等號成立。
(2)證明:數(shù)學歸納法
解析試題分析:(1)證明: a+b+c=1,a、b、c∈(0,+∞),
alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)="f(a)"
那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b),當a∈(0,)時f ′ (a)<0,當a∈(,1)時f ′ (a)>0,
f(a)在(0,]上遞減,在[,1) 上遞增;
f(a)≥f()="(1-b)" log3+ blog3b,記g(b)=" (1-b)" log3+ blog3b, 3分
得:g′(b)= log3b-log3,當b∈(0,)時g′(b) <0,當b∈(,1)時,g′(b) >0,
g(b)在(0,)遞減,在(,1)上遞增; g(b)≥g()=-1。
alog3a+blog3b+clog3c≥-1當a=b=c=時等號成立。5分
(2)證明:n=1時,++=1,>0(i=1,2,3),由(1)知
++≥-1成立,即n=1時,結(jié)論成立。
設n=k時結(jié)論成立,即++…+=1,>0(i=1,2,3,…,3k)時
+++…+≥-k.
那么,n=k+1時,若++…+++…+=1,>0(i=1,2,3,…,3k+1)時,
令+…+=t,則++…+=1,由歸納假設:
++…+≥-k. 8分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
定義在[-1,1]上的奇函數(shù)滿足,且當,時,有.
(1)試問函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直,若存在,求出A,B兩點的坐標;若不存在,請說明理由并加以證明.
(2)若對所有,恒成立,
求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知是函數(shù)的一個極值點,其中
(1)求與的關(guān)系式;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設函數(shù)函數(shù)g(x)= ;試比較g(x)與的大小。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知,函數(shù)
(1)求的極小值;
(2)若在上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;
(3)設,若在(是自然對數(shù)的底數(shù))上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),且.
(1)求的值;
(2)若令,求取值范圍;
(3)將表示成以()為自變量的函數(shù),并由此,求函數(shù)的最大值與最小值及與之對應的x的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試分別解答以下兩小題.
(。┤舨坏仁對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)若是兩個不相等的正數(shù),且,求證:.
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