Question

已知f（x）是定義在R上且以4為周期的奇函數(shù)，當x∈（0，2）時，f（x）=ln（x²-x+b），若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為5，則實數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中f（x）是定義在R上且以4為周期的奇函數(shù)，可得0，±2是函數(shù)f（x）的零點，故若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為5，則當x∈（0，2）時，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，由此構(gòu)造關(guān)于b的不等式組，解不等式組，可得實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
故f（0）=0，即0是函數(shù)f（x）的零點，
又由f（x）是定義在R上且以4為周期的周期函數(shù)，
故f（-2）=f（2），且f（-2）=-f（2），
故f（-2）=f（2）=0，
即±2也是函數(shù)f（x）的零點，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為5，
則當x∈（0，2）時，f（x）=ln（x²-x+b），
故當x∈（0，2）時，x²-x+b＞0恒成立，
且x²-x+b=1在（0，2）有一解，
即

1-4b＜0 ( 1 2 )2- 1 2 +b=1

或

1-4b＜0 0-0+b≤1 4-2+b≥1

解得：

1

4

＜b≤1或b=

5

4

，
故答案為：

1

4

＜b≤1或b=

5

4

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，與函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點，是函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度比較大．