【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列滿足,它的前項(xiàng)和為,
(ⅰ)求;
(ⅱ)若存在正整數(shù),使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1),;(2)(ⅰ);(ii)或.
【解析】
(1)根據(jù)已知,當(dāng)時(shí),求出,當(dāng)是,利用,得到數(shù)列的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列,即可求出結(jié)論;
(2)(ⅰ)由數(shù)列通項(xiàng)公式的特征,用錯(cuò)位相減法求出;
(ⅱ)對(duì)分為奇數(shù)、偶數(shù)討論,分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為存在正整數(shù),使得或,求出最值,即可得出結(jié)論.
(1),
當(dāng)時(shí),,∴或(舍去)
當(dāng)時(shí),由,得,
兩式相減得:,∴,
即,∴.
又∵數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列,故,也即,
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
∴,.
(2)(。,則
①,
②,
可得:,
故.
(ⅱ)即不等式成立,
若為偶數(shù),則,所以,
設(shè),則在單調(diào)遞減,
故當(dāng)時(shí),,所以;
若為奇數(shù),則,所以
設(shè),則在單調(diào)遞增,
故當(dāng)時(shí),,所以,
綜上所述,的取值范圍或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在處的切線與直線平行,求的值;
(Ⅱ)若對(duì)于定義域內(nèi)的任意,總存在使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時(shí)看作銷量為50瓶).
(1)設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量Y,求X和Y的分布列;
(2)從早餐店的收益角度和利用所學(xué)的知識(shí)作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必須作出一種合理的選擇)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于,若數(shù)列滿足,則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列:1,m+1,m2是“K數(shù)列”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在首項(xiàng)為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”,且其前n項(xiàng)和滿足
?若存在,求出的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”,若,試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,第一年投入資金1000萬元,出售產(chǎn)品收入40萬元,預(yù)計(jì)以后每年的投入資金是上一年的一半,出售產(chǎn)品所得收入比上一年多80萬元,同時(shí),當(dāng)預(yù)計(jì)投入的資金低于20萬元時(shí),就按20萬元投入,且當(dāng)年出售產(chǎn)品收入與上一年相等.
(1)求第年的預(yù)計(jì)投入資金與出售產(chǎn)品的收入;
(2)預(yù)計(jì)從哪一年起該公司開始盈利?(注:盈利是指總收入大于總投入)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),過點(diǎn)的直線(與軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),試證明:直線與軸平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB, AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,側(cè)棱AA1⊥平面ABCD.且點(diǎn)M是AB1的中點(diǎn)
(1)證明:CM∥平面ADD1A1;
(2)求點(diǎn)M到平面ADD1A1的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP與CC′所成角的大小.
(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.
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