Question

【題目】已知函數(shù),.

(1)若曲線在處的切線方程為,求的值；

（2）在(1)的條件下,求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若不等式對(duì)任意都成立,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)兩個(gè)；(3).

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合切線方程可以求出的值,最后計(jì)算即可；

(2)由(1)求出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)存在原理,可以判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)設(shè),對(duì)它進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)的不同取值,分類討論判斷出函數(shù)的單調(diào)調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的最值情況求出a的取值范圍.

(1),

由題意，,,解得，,,所以.

(2)由(1)知,,

令，得,

且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>,,，函數(shù)在區(qū)間和上的圖象是一條不間斷的曲線,由零點(diǎn)存在性定理,

所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(3)設(shè),即，，

，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，

所以最小值為，不合題意；

當(dāng)時(shí)，，

令，得.

若，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；

所以最小值為，只需，即，

所以符合；

若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

所以的最小值為，

所以符合.

綜上,a的取值范圍是.