【題目】如圖AB是拋物線C:x2=4y過(guò)焦點(diǎn)F的弦(點(diǎn)A在第二象限),過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)D(D在F上方),且|AF|=|DF|,過(guò)點(diǎn)B作拋物線C的切線l
(1)求證:AE∥l;
(2)當(dāng)以AE為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B時(shí),求AB的直線方程.

【答案】
證明:(1)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則D(0,y1+2)
∴kAE=﹣,
∵x2=4y,∴y′=x,
∴kl=x2 ,
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入x2=4y,可得x2﹣4kx﹣4=0,
∴x1x2=﹣4,
∴kAE=kl ,
∴AE∥l;
(2)解:直線AE的方程為y﹣y1=﹣(x﹣x1),
與x2=4y聯(lián)立,可得x2+x﹣4y1﹣8=0,
∴x1+xE=﹣,∴xE=﹣﹣x1 , ∴E(﹣﹣x1 , ++4),
∵以AE為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B,
∴kABkBE=﹣1,
=﹣1,
∴(x2+x1)(3x2﹣x1)=﹣16,
∵x1x2=﹣4,x2+x1=4k,
∴x2=k﹣,x1=3k+
∴(k﹣)(3k+)=﹣4,
∴k=±
∴直線AB的方程為y=±x+1.
【解析】(1)證明kAE=kl , 即可證明:AE∥l;
(2)當(dāng)以AE為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B時(shí),kABkBE=﹣1,利用韋達(dá)定理,即可求AB的直線方程

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