【題目】已知拋物線E:的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與E交于A,C兩點(diǎn)
(1)分別過A,C兩點(diǎn)作拋物線E的切線,求證:拋物線E在A、C兩點(diǎn)處的切線互相垂直;
(2)過點(diǎn)F作直線l的垂線與拋物線E交于B,D兩點(diǎn),求四邊形ABCD的面積的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)32
【解析】
(1)設(shè)出直線l的方程與拋物線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及導(dǎo)數(shù)求得斜率相乘為﹣1即可;
(2)用弦長公式求出弦長|AC|和|BD|,再算出面積后,用基本不等式求最值.
(1)證明:設(shè)過點(diǎn)F(0,1)的直線方程為:y=kx+1,
由,得x2﹣4kx﹣4=0,
設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),
則,
∵yx2,∴y′x,
設(shè)拋物線E在點(diǎn)A、C兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為k1,k2,
則k1k2x1x2x1x2=﹣1,
故拋物線E在A,C兩點(diǎn)處的切線互相垂直.
(2)由(1)知|AC|4(k2+1)
同理|BD|=4(1)
∴S四邊形ABCD|AC||BD|=8(k2+1)(1)
=8(1+k21)
≥8(2+2)
=32,
∴四邊形ABCD的面積的最小值為32.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) ①對于命題p:x∈R,使得x2+x+1<0,則¬p:x∈R,均有x2+x+1>0;
②命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題;
③回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為 =1.23x+0.08;
④m=3是直線(m+3)x+my﹣2=0與直線mx﹣6y+5=0互相垂直的充要條件.
A.1
B.3
C.2
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣ )= ,C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)O為極點(diǎn),A,B為C上的兩點(diǎn),且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】祖沖之之子祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代偉大的科學(xué)家,他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是,如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.此即祖暅原理.利用這個(gè)原理求球的體積時(shí),需要構(gòu)造一個(gè)滿足條件的幾何體,已知該幾何體三視圖如圖所示,用一個(gè)與該幾何體的下底面平行相距為h(0<h<2)的平面截該幾何體,則截面面積為( )
A.4π
B.πh2
C.π(2﹣h)2
D.π(4﹣h2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分別為SA,SB的中點(diǎn),E為CD中點(diǎn),過M,N作平面MNPQ分別與BC,AD交于點(diǎn)P,Q,若 =t .
(1)當(dāng)t= 時(shí),求證:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|+|x+1|.
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>3;
(2)若x∈R,使得m2+3m+2f(x)≥0成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AN∥平面MEC;
(Ⅱ)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ?若存在,求出AP的長h;若不存在,請說明理由.
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