【題目】如圖所示，四棱錐中，底面， ，為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)D與平面的距離.

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）在中，由余弦定理可解得,可知是直角三角形，又為等邊三角形，所以，所以，即可證明平面（2）由（1）可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）因?yàn)?/span>，，，

所以，，

在中，，，，

由余弦定理可得：

解得：

所以，所以是直角三角形，

又為的中點(diǎn)，所以,又，所以為等邊三角形，

所以，所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

所以，，.

設(shè)為平面的法向量，則，即

設(shè)，則，，即平面的一個法向量為，

所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.

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（2）若要求每家醫(yī)院至少一人，設(shè)，分別表示分配到“雷神山”、“火神山”兩家醫(yī)院的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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