(本小題滿分12分)
已知點(diǎn)F( 1,0),與直線4x+3y + 1 =0相切,動(dòng)圓M與及y軸都相切. (I )求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(II)過(guò)點(diǎn)F任作直線l,交曲線C于A,B兩點(diǎn),由點(diǎn)A,B分別向各引一條切線,切點(diǎn) 分別為P,Q,記.求證是定值.
(I ) ;(II) 當(dāng)不與軸垂直時(shí),直線的方程為,由得,設(shè),
∴,
當(dāng)與軸垂直時(shí),也可得。
解析試題分析:(Ⅰ)⊙的半徑為,⊙的方程為,
作⊥軸于,則,即,則(是過(guò)作直線的垂線的垂足),則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線.
∴點(diǎn)的軌跡的方程為; …6分
(Ⅱ)當(dāng)不與軸垂直時(shí),直線的方程為,由得
,設(shè),則
∴,
當(dāng)與軸垂直時(shí),也可得,
綜上,有. …12分
考點(diǎn):軌跡方程的求法;拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì);直線方程的點(diǎn)斜式;直線與拋物線的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng):(1)在設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí),要注意討論斜率是否存在;(2)做第二問(wèn)的關(guān)鍵是:把的值用兩根之和或兩根之積表述出,從而達(dá)到應(yīng)用韋達(dá)定理的目的。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值,并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;
(Ⅱ)是否存在、的值,使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上?若存在,求出符合條件的、的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)雙曲線的方程為,、為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn),是雙曲線 上的任意一點(diǎn),作,,垂足分別為、,與交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)、的離心率分別為、,當(dāng)時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
雙曲線與雙曲線有共同的漸近線,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),橢圓以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的最短距離為,求雙曲線和橢圓的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿分15分)
已知點(diǎn),是拋物線上相異兩點(diǎn),且滿足.
(Ⅰ)若的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求直線的方程;
(Ⅱ)若的中垂線交軸于點(diǎn),求的面積的最大值及此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知橢圓C1:的離心率為,直線l: y-=x+2與.以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切.
(1)求橢圓C1的方程;
(ll)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l2過(guò)點(diǎn)F價(jià)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線l2垂直于l1,垂足為點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(III)過(guò)橢圓C1的左頂點(diǎn)A作直線m,與圓O相交于兩點(diǎn)R,S,若△ORS是鈍角三角形, 求直線m的斜率k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線平行于,且與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(ⅰ)若為鈍角,求直線在軸上的截距m的取值范圍;
(ⅱ)求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知、為橢圓的焦點(diǎn),且直線與橢圓相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),求△的面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程。
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