【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的短軸長為2,過上頂點E和右焦點F的直線與圓M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l過點(1,0),且與橢圓C交于點A,B,則在x軸上是否存在一點T(t,0)(t≠0),使得不論直線l的斜率如何變化,總有∠OTA=∠OTB (其中O為坐標(biāo)原點),若存在,求出 t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)由已知中橢圓C的短軸長為2,可得:b=1,
則過上頂點E(0,1)和右焦點F(0,c)的直線方程為: ,
即x+cy﹣c=0,
由直線與圓M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.
故圓心M(2,1)到直線的距離d等于半徑1,
,
解得:c2=3,
則a2=4,
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),
當(dāng)直線AB的斜率不為0時,設(shè)直線 方程為:x=my+1,代入 得:(m2+4)y2+2my﹣3=0,
則y1+y2= ,y1y2= ,
設(shè)直線TA,TB的斜率分別為k1 , k2 ,
若∠OTA=∠OTB,
則k1+k2= + = =
= =0,
即2y1y2m+(y1+y2)(1﹣t)= + =0,
解得:t=4,
當(dāng)直線AB的斜率為0時,t=4也滿足條件,
綜上,在x軸上存在一點T(4,0),使得不論直線l的斜率如何變化,總有∠OTA=∠OTB.
【解析】(I)由已知可得:b=1,結(jié)合直線與圓M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.進(jìn)而可得c2=3,a2=4,即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)在x軸上是否存在一點T(4,0),使得不論直線l的斜率如何變化,總有∠OTA=∠OTB,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合∠OTA=∠OTB 時,直線TA,TB的斜率k1 , k2和為0,可證得結(jié)論.
【考點精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

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(1)判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P(a)性質(zhì)”,若具有“P(a)性質(zhì)”,試寫出所有a的值;若不具有“P(a)性質(zhì)”,請說明理由;
(2)已知y=f(x)具有“P(0)性質(zhì)”,當(dāng)x≤0時,f(x)=(x+t)2 , t∈R,求y=f(x)在[0,1]上的最大值;
(3)設(shè)函數(shù)y=g(x)具有“P(±1)性質(zhì)”,且當(dāng)﹣ ≤x≤ 時,g(x)=|x|,求:當(dāng)x∈R時,函數(shù)g(x)的解析式,若y=g(x)與y=mx(m∈R)交點個數(shù)為1001個,求m的值.

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,若,則;

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是虛數(shù)的一個充要條件是;

是兩個相等的實數(shù),則是純虛數(shù);

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