【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|.
(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)若不等式 ≤f(x)有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:令2x﹣1=0,得x= ,
令x﹣1=0,得x=1;
當(dāng)x< 時,函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣(2x﹣1)+2(x﹣1)=﹣1;
當(dāng) ≤x≤1時,函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=(2x﹣1)+2(x﹣1)=4x﹣3;
當(dāng)x>1時,函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=(2x﹣1)﹣2(x﹣1)=1;
∴f(x)= ,
作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示;
(2)解:由函數(shù)f(x)的圖象知,f(x)的最大值是1,
所以不等式 ≤f(x)有解,等價于 ≤1有解,
不等式 ≤1可化為 ﹣1≤0
(2a﹣1)(a﹣1)≥0(a≠1),解得a≤ 或a>1,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞, ]∪(1,+∞)
【解析】(1)去掉絕對值,化簡函數(shù)f(x),作出函數(shù)f(x)的圖象即可;(2)由函數(shù)f(x)的圖象知函數(shù)的最大值是1,問題等價于 ≤1有解, 求出解集即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識,掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.試確定m,n的值,使
(1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1);則m=____,n=_______
(2)l1∥l2.則_________________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R.
(1)求A∪B,(CUA)∩B;
(2)若A∩C≠,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù),且對x∈(0,∞),都有f[f(x)﹣lnx]=e+1,設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)g(x)=f(x)﹣f′(x)的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的短軸長為2,過上頂點(diǎn)E和右焦點(diǎn)F的直線與圓M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(1,0),且與橢圓C交于點(diǎn)A,B,則在x軸上是否存在一點(diǎn)T(t,0)(t≠0),使得不論直線l的斜率如何變化,總有∠OTA=∠OTB (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出 t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)M(3,2)到拋物線C:y=ax2(a>0)準(zhǔn)線的距離為4,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)N(l,l),當(dāng)點(diǎn)P在直線l:x﹣y=2上運(yùn)動時, 的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a,b∈R,且a≠0,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線斜率為0,且f(x)有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)①當(dāng) a=b=l 時,證明:xf(x)+2<0; ②當(dāng) a=1,b=﹣1 時,若不等式:xf(x)>e+m(x﹣1)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的左頂點(diǎn)A作直線m,與圓O相交于兩點(diǎn)R,S,若△ORS是鈍角三角形,求直線m的斜率k的取值范圍.
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