Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）已知點是曲線上的任意一點，求點到直線的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲線以原點為圓心，半徑為的圓；

（2）

【解析】

（1）曲線的參數(shù)方程，的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出的普通方程，以原點為圓心，半徑為的圓，由此能求出的極坐標(biāo)方程.

（2）解法一：直線的普通方程為，由圓的半徑為，且圓心到直線的距離，從而圓與直線相離，由此能求出點到直線的距離的最小值；解法二：由直線的極坐標(biāo)方程求出直線的普通方程為，曲線上的點到直線的距離，由此能求出點到直線的距離的最小值.

（1）曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），

將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，

曲線的參數(shù)方程，

的參數(shù)方程消去參數(shù)，

所以的普通方程為，

曲線以原點為圓心，半徑為的圓，

的極坐標(biāo)為，即.

（2）解法一：直線的極坐標(biāo)方程為，

直線的普通方程為，

因為圓的半徑為，且圓心到直線的距離，

因為，所以圓與直線相離，

所以圓上的點到直線的距離的最小值.

解法二：由直線的極坐標(biāo)方程為

則直線的普通方程為，

曲線上的點到直線的距離

，

當(dāng)時，即時，

取得最小值為.