Question

【題目】已知函數(shù).

（1）函數(shù)在處的切線過點(diǎn)，求的方程；

（2）若且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）即；（2）8.

【解析】

（1）首先求出在處的切線方程，然后代入點(diǎn)，求參數(shù)的值；

（2）首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最小值，因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以即得，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理證明在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，得到的最小值.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

所以又，

所以在處切線方程為，

即.

又因?yàn)橹本�過點(diǎn)，所以得即.

所以直線方程為即.

（2）因?yàn)?/span>.

令得即，

因?yàn)?/span>所以，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以即得，

又因?yàn)?/span>，

.

設(shè)

則，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

所以，所以在單調(diào)遞增，

所以.

又，所以，

故在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，

即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

則又且，

所以得最小值為8.