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如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，AB=BC=2，AA1=2
2
．
（1）求證：BC⊥平面A1ABB1；
（2）求直線A1B與平面A1AC成角的正弦值．
（1）∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，
∴BC⊥AB，BC⊥BB1，
又∵AB∩BB1=B，
∴BC⊥平面A1ABB1．
（2）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標系，
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，AB=BC=2，AA1=2
2
，
∴A1(2，0，2
2
)，B（2，2，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
∴
AA1
=（0，0，2
2
），
AC
=（-2，2，0），
A1B
=（0，2，-2
2
）
設平面A1AC的法向量為
n
=（x，y，z），則
n
•
AA1
=0，
n
•
AC
=0，
∴
2
2
z=0
-2x+2y=0
，解得
n
=（1，1，0），
設直線A1B與平面A1AC成角為θ，
則sinθ=|cos＜
n
，
A1B
＞|=|
0+2+0
2
•
12
|=
6
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知E，F，G，M分別是四面體的棱AD，CD，BD，BC的中點，求證：AM∥平面EFG．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，E，F分別是BC，CD上的點，且BE=CF=3．
（1）求B1F與平面BCC1B1所成角的正切值；
（2）求證：B1F⊥D1E．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=
π
2
，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且
SE
=
1
3
SD
，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為A1B1，CD的中點．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點，E為BC1的中點
（1）求證：OE∥平面A1AB；
（2）求二面角A-A1B-C1的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求證：BD⊥PC；
（2）求三棱錐A-PCD的體積；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

平面α的一個法向量為
n
=(1，-
3
，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為（　�。�
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
4
D．
5π
6

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知二面角α-l-β，點A∈α，B∈β，AC⊥l于點C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求證：AB=2的充要條件α-l-β=1200．

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