如圖,四棱錐的底面為正方形,側(cè)面底面為等腰直角三角形,且,分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn).

(1)求證:∥平面
(2)求證:平面;
(3)求二面角的余弦值.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)所以二面角的余弦值為

試題分析:(1)求證:∥平面,證明線面平行,首先證明線線平行,可用三角形的中位線平行,也可用平行四邊形的對(duì)邊平行,注意到的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,則所以是△的中位線,證得四邊形是平行四邊形,從而得,從而可證∥平面;(2)求證:平面,可用空間向量法,注意到平面平面,,可以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由題意設(shè),則的各點(diǎn)坐標(biāo),從而得,,利用數(shù)量積得,,從而得證;(Ⅲ)求二面角的余弦值,由(2)建立空間直角坐標(biāo)系,可設(shè)平面的法向量為,求出一個(gè)法向量,由(2)可知平面的法向量是,利用向量的夾角公式,即可求得二面角的余弦值.
試題解析:(1)取的中點(diǎn),連接,.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556498302.png" style="vertical-align:middle;" />,分別是的中點(diǎn),
所以是△的中位線. 所以,且
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556483318.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn),且底面為正方形,
所以,且.所以,且
所以四邊形是平行四邊形.所以
平面,平面,所以平面.                 4分

(2)證明:因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556982460.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
,且平面平面,
所以平面
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556997526.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形,所以
所以兩兩垂直.
以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以軸,
建立空間直角坐標(biāo)系(如圖). 
由題意易知,   設(shè),則
,,,,,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042557107644.png" style="vertical-align:middle;" />,,
,
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042558199365.png" style="vertical-align:middle;" />,相交于,所以平面.          9分

(3)易得
設(shè)平面的法向量為,則
,所以
,則
由(2)可知平面的法向量是,
所以 .
由圖可知,二面角的大小為銳角,
所以二面角的余弦值為.          14分
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(1)證明:∥平面;
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