如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,DAC中點(diǎn),,延長(zhǎng)AEBCF,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示.

(1)求證:AE⊥平面BCD;
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)使得平面?若存在,請(qǐng)指明點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)詳見(jiàn)解析,(2),(3)

試題分析:(1)已知條件為面面垂直,,因此可利用定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.折疊前后皆有平面為兩平面的交線(xiàn),由平面ABD平面BCD,可得AE⊥平面BCD.(2)求二面角,有兩個(gè)方法,一是做出二面角的平面角,二是利用空間向量.本題由于有AE⊥平面BCD,可利用三垂線(xiàn)定理及其逆定理做出二面角的平面角,即過(guò)點(diǎn)E作EM垂直CD于M,連AM,則AM垂直CD,所以為二面角的平面角.利用空間向量求二面角,關(guān)鍵求出面的法向量,由于平面可知平面DCB的法向量為.平面的法向量可列方程組求出,再利用向量的數(shù)量積求出其夾角的余弦值.(3)探索點(diǎn),從線(xiàn)面平行性質(zhì)定理出發(fā),利用平面得EM平行過(guò)EM平面與平面的交線(xiàn).由于過(guò)EM平面的任意性,難以確定M位置.本題利用空間向量解決就比較簡(jiǎn)單,設(shè),利用法向量與平面內(nèi)任一直線(xiàn)垂直,可解出,從而確定M位置.
試題解析:(1)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042809052478.png" style="vertical-align:middle;" />平面,交線(xiàn)為,
又在中,平面
所以平面.                   3分

(2)由(1)結(jié)論平面可得.
由題意可知,又.
如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線(xiàn)為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系
4分
不妨設(shè),則.
由圖1條件計(jì)算得,,
   5分
.
平面可知平面DCB的法向量為.                 6分
設(shè)平面的法向量為,則

,則,所以.                  8分
平面DCB的法向量為
所以,
所以二面角的余弦值為               9分
(3)設(shè),其中.
由于
所以,其中             10分
所以             11分
,即             -12分
解得.              13分
所以在線(xiàn)段上存在點(diǎn)使,且.      14分
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,且.
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