Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若不等式恒成立，求k的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線方程；

（2）由，即，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而得的最大值，即得的取值范圍；

（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，恒成立，令，整理得：，將兩邊不等式全相加即可得到結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，，

∵，∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

即.

（2）由，，則，即，

設(shè)，，

，，單調(diào)遞增，

，，單調(diào)遞減，

∵不等式恒成立，且，

∴，∴即可，故.

（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，恒成立，

令，由于，.

故，，整理得：，

變形得：，即：時(shí)，，……，

兩邊同時(shí)相加得：，

所以不等式在上恒成立.