Question

如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見解析；（2）證明過(guò)程詳見解析；（3）.

解析試題分析：本題主要考查中位線、平行四邊形的證明、線面平行、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，作出輔助線MN，N為中點(diǎn)，在中，利用中位線得到，且，結(jié)合已知條件，可證出四邊形ABMN為平行四邊形，所以，利用線面平行的判定，得∥平面；第二問(wèn)，利用面面垂直的性質(zhì)，判斷面，再利用已知的邊長(zhǎng)，可證出，則利用線面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三問(wèn)，可以利用傳統(tǒng)幾何法證明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夾角公式計(jì)算即可.
（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，
分別為的中點(diǎn)，所以∥，且
．由已知∥，，所以
∥，且．所以四邊形為平行四邊形，
所以∥．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/32/5/1shed2.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面，
所以∥平面．                      4分
（2）證明：在正方形中，．又因?yàn)?br />平面平面，且平面平面，
所以平面．所以．             6分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．         7分
所以平面．             8分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/64/1/1lmgp3.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面．        9分
（3）（方法一）延長(zhǎng)和交于．

在平面內(nèi)過(guò)作