Question

（本題滿分14分）在數(shù)列中，時，其前項(xiàng)和滿足：.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并用表示；

（Ⅱ）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為求使得對所有都成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，只需證明等于一個與無關(guān)的常數(shù)，由已知，，只需將式子中的換成得，，兩邊同除以即可，用表示，因?yàn)閿?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求使得對所有都成立的實(shí)數(shù)的取值范圍，將式子整理為，只需求出的最大值，須求出的解析式，首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，可用拆項(xiàng)相消法求得的解析式，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，

，即數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差

（Ⅱ）

由題即

對于所有都成立

設(shè)由題

函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

故數(shù)列從第二項(xiàng)起遞減，而，

滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的判斷，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.