已知以點
C (
t,
)(
t∈R),
t≠0)為圓心的圓與
x軸交于點
O,
A,與
y軸交于點
O,
B,其中
O為坐標原點.
(1)求證:
△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線
y= –2
x+4與圓
C交于點
M,
N若|
OM|=|
ON|,求圓
C的方程.
(3)若
t>0,當圓
C的半徑最小時,圓
C上至少有三個不同的點到直線
l:
y –
的距離為
,求直線
l的斜率
k的取值范圍.
(1)∵圓
C過原點
O,∴
OC2=
t2+
則圓
C的方程為
令
x=0,得
y1=0,
y2=
;令
y=0得
x1=0,
x2=2
t,即
A(2
t,0)
B(0,
)
∴
S△OAB=
OA×
OB=
|
|×|2
t|=4.……4分
即
△OAB的面積為定值
(2)∵|
OM|=|
ON|,|
CM|=|
CN|,∴
OC垂直平分線段
MN.
∵
KMN =" –" 2 ∴
KOC=
∴
解得
t=2或
t = –2.
當
t=2時,圓心
C的坐標為(2,1)半徑
OC=
,此時圓心到直線
y= –2
x+4的距離
d=
,即圓
C與直線
y= –2
x+4相交于兩點。
當
t=-2時,圓心
C的坐標為(–2,–1)半徑
OC=
此時圓心到直線
y= –2
x+4的距離
d=
>
, 即圓
C與直線
y= –2
x+4不相交,
∴
t= –2不合題意,舍去.∴圓
C的方程為(
x –2)
2+(
y –1)
2=5.……9分
(3)半徑
OC=
.當且僅當
t=
時取等號 ∵
t>0 ∴
t=
.
此時圓心坐標為
C(
)半徑為2.
若圓
C上至少有三個不同的點到直線
l:
y –
=
k(
x –3 –
)的距離為
.
則圓心
C到直線的距離
d≤
.即:
所以–
.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(21) (本小題滿分15分)
直線
分拋物線
與
軸所圍成圖形為面積相等的兩個部分,求
的值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
:
的左焦點
,若橢圓上存在一點
,滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段
相切于線段
的中點
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)已知兩點
及橢圓
:
,過點
作斜率為
的直線
交橢圓
于
兩點,設(shè)線段
的中點為
,連結(jié)
,試問當
為何值時,直線
過橢圓
的頂點?
(Ⅲ) 過坐標原點
的直線交橢圓
:
于
、
兩點,其中
在第一象限,過
作
軸的垂線,垂足為
,連結(jié)
并延長交橢圓
于
,求證:
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分14分)
(文)如圖,|AB
|=2,O為AB中點,直線
過B且垂直于AB,過A的動直線與
交于點C,點M在線
段AC上,滿足=.
(I)求點M的軌跡方程;
(II)若過B點且斜率為- 的直線與軌跡M交于點P,點Q(t,0)是x軸上任意一點,求當ΔBPQ為銳角三角形時t的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的離心率為
,短軸的一個端點到右焦點的距離為2,
(1)試
求橢圓
的方程;
(2)若斜率為
的直線
與橢圓
交于
、
兩點,點
為橢圓
上一點,記直線
的斜率為
,直線
的斜率為
,試問:
是否為定值?請證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
直線y=x-
被橢圓x
2+4y
2=4截得的弦長為
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在圓
上任取一點
,過點
作
軸的垂線段
,
為垂足,當點
在圓上運動時,線段
的中點
的軌跡為曲線
(Ⅰ)求曲線
的方程;
(Ⅱ)過點
的直線
與曲線
相交于不同的兩點
, 點
在線段
的垂直平分線上,且
,求
的值
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
,拋物線
,點
是
上的動點,過點
作拋物線
的切線
,交橢圓
于
兩點,
(1)當
的斜率是
時,求
;
(2)設(shè)拋物線
的切線方程為
,當
是銳角時,求
的取值范圍.
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