Question

已知橢圓：的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知兩點(diǎn)及橢圓:,過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,連結(jié),試問當(dāng)為何值時(shí),直線過橢圓的頂點(diǎn)?
(Ⅲ) 過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓:于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于，求證：

Answer 1

（Ⅰ）連接為坐標(biāo)原點(diǎn),為右焦點(diǎn)），由題意知：橢圓的右焦點(diǎn)為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204850511382.png" style="vertical-align:middle;" />是的中位線，且,所以
所以，故…………2分
在中，
即,又,解得
所求橢圓的方程為．………………………4分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得橢圓:
設(shè)直線的方程為并代入
整理得:
由得:  ……………………5分
設(shè)
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:…………………6分
①當(dāng)時(shí),有,直線顯然過橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn);………7分
②當(dāng)時(shí),則,直線的方程為
此時(shí)直線顯然不能過橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn);
若直線過橢圓的頂點(diǎn),則即
所以,解得:(舍去)………………………8分
若直線過橢圓的頂點(diǎn),則即
所以,解得:(舍去) ……………9分
綜上,當(dāng)或或時(shí), 直線過橢圓的頂點(diǎn)…………10分
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為……………………………11分
根據(jù)題意可設(shè)，則
則直線的方程為…①
過點(diǎn)且與垂直的直線方程為…②
①②并整理得：
又在橢圓上，所以所以
即①、②兩直線的交點(diǎn)在橢圓上,所以．…………14分
法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為
根據(jù)題意可設(shè)，則，，
所以直線
，化簡得
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204854583500.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,則……………12分
所以，則,即

略