Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，g（x）= +a．
（1）當(dāng)a=2 時(shí)，求F（x）=f（x）﹣g（x）在（0，2]的最大值；
（2）討論函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x） 的單調(diào)性；
（3）若f（x）g（x）≤0 在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2時(shí)，F(xiàn)（x）=lnx﹣2x﹣ ﹣2，

F′（x）= = ，

F（x）在（0，1）內(nèi)遞增，在（1，2）遞減，

故F（x）在x=1取最大值﹣5；

（2）解：F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣ ﹣a，

F′（x）= ，

①a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）遞增，

②a＞0時(shí)，令F′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令F′（x）＜0，解得：x＞ ，

故F（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減；

（3）解：若f（x）g（x）≤0 在定義域內(nèi)恒成立，

①f（x）≤0，g（x）≥0同時(shí)恒成立，

由f（x）=lnx﹣ax≤0，a≥ 恒成立，

令h（x）= ，h′（x）= ，

令h′（x）＞0，解得：x＜e，令h′（x）＜0，解得：x＞e，

故h（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，

故h（x）max=h（e）= ，故a≥ ；

②f（x）≥0，g（x）≤0同時(shí)恒成立，a不存在，

③a＜0時(shí)，f（x）=lnx﹣ax遞增，g（x）= +a遞減，

若它們有共同零點(diǎn)，則f（x）g（x）≤0恒成立，

由f（x）=lnx﹣ax=0，g（x）= +a=0聯(lián)立方程組解得：a=﹣e，

綜上，a≥ 或a=﹣e．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）≤0，g（x）≥0同時(shí)恒成立，f（x）≥0，g（x）≤0同時(shí)恒成立，a不存在，③a＜0時(shí)，f（x）=lnx﹣ax遞增，g（x）遞減，求出a的值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．