Question

(本小題滿分14分)已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235806192303.png" style="vertical-align:middle;" />的單調(diào)函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（I）求的值；
（II）求的解析式；
（III）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

試題分析： （I）因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-1)=-f(1)從而問題得解.
（II）因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,然后用-x代替中的x,-f(x)代替中的f(x)再兩邊同乘以-1可得x<0的解析式.從而可得f(x)在R上的解析式是一個(gè)分段函數(shù).
(III) 因?yàn)閒(x)為定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235806192303.png" style="vertical-align:middle;" />的單調(diào)函數(shù)，并且由于由于當(dāng)x
>0時(shí)，f(x)是,從而可得f(x)在R上是減函數(shù)，所以由得進(jìn)一步可得,所以,然后再轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題解決即可。
（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235806676316.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)是奇函數(shù) ，所以-------2分
（2）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235806676316.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)是奇函數(shù)     ------------4分 
當(dāng)時(shí)，             
又函數(shù)是奇函數(shù)            
                       ------------7分
綜上所述      ----8分
（3）且在上單調(diào)
在上單調(diào)遞減                      -------10分
由得
是奇函數(shù)      
，又是減函數(shù)  ------------12分
即對任意恒成立
 得即為所求----------------14分
點(diǎn)評：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，因而在求對稱區(qū)間上的解析式時(shí)，可用利用-x,-f(x)分別代替對稱區(qū)間上解析式中的x,f(x)即可得到所求區(qū)間上的解析式.另外奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，當(dāng)定義域中有0值時(shí)，f(0)=0這些都是奇函數(shù)常用的結(jié)論，勿必記住.