Question

已知，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，求函數(shù)上的最小值；

（3）求證：.

 

Answer 1

（1）實數(shù)的取值范圍是.

（2）當時，；

當時，；

當時，.

（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）由題意知在上恒成立.

根據(jù)，知在上恒成立，即在上恒成立. 只需求時，的最大值.

（2）當時，則.

根據(jù)，分別得到的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 因為，所以，

因此，要討論①當，即時，②當，即時，③當時等三種情況下函數(shù)的最小值.

（3）由（2）可知，當時，，從而

可得 ，

故利用

（1）由題意知在上恒成立.

又，則在上恒成立，

即在上恒成立. 而當時，，所以，

于是實數(shù)的取值范圍是. 4分

（2）當時，則.

當，即時，；

當，即時，.

則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 6分

因為，所以，

①當，即時，在[]上單調(diào)遞減，

所以

②當，即時，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，所以

③當時，在[]上單調(diào)遞增，所以.

綜上，當時，；

當時，；

當時，. 9分

（3）由（2）可知，當時，，所以

可得 11分

于是

14分

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值、證明不等式，“裂項相消法”求和，“放縮法”，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.