【題目】已知函數(shù)fx)=loga)(0<a<1,b>0)為奇函數(shù),當(dāng)x∈(﹣1,a]時(shí),函數(shù)y=fx)的值域是(﹣∞,1].

(1)確定b的值;

(2)證明函數(shù)y=fx)在定義域上單調(diào)遞增,并求a的值;

(3)若對(duì)于任意的t∈R,不等式ft2﹣2t)+f(2t2k)>0恒成立,求k的取值范圍.

【答案】(1)b=1;(2)見(jiàn)解析;(3)

【解析】

(1)利用f(﹣x)+f(x)=0求出b的值.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=fx)在定義域上單調(diào)遞增,再利用y=fx)的值域是(﹣∞,1]求出a的值.(3)首先轉(zhuǎn)化為t2﹣2t>k﹣2t2,再轉(zhuǎn)化為k<3t2﹣2t的最小值,求3t2﹣2t的最小值即得解.

(1)∵函數(shù)f(x)=loga)(0<a<1,b>0)為奇函數(shù),

∴f(﹣x)=﹣f(x),即f(﹣x)+f(x)=0,

∴l(xiāng)oga+loga=loga)=0,即=1,

∴1﹣x2=b2﹣x2,即b2=1,解得b=1(﹣1舍去),

當(dāng)b=1時(shí),函數(shù)f(x)=loga為奇函數(shù),滿(mǎn)足條件.

(2)證明:設(shè)x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,由g(x)==﹣1+,

g(x1)﹣g(x2)=,

x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,可得x2﹣x1>0,(1+x1)(1+x2)>0,

g(x1)﹣g(x2)>0,即有g(x)在(﹣1,1)遞減,

f(x)=logag(x),0<a<1可得,

f(x)在(﹣1,1)遞增;

函數(shù)f(x)=logax∈(﹣1,a)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈(﹣1,a]時(shí),函數(shù)f(x)的值域是(﹣∞,1],

∴f(a)=1,即f(a)=loga=1,∴=a,

1﹣a=a+a2,∴a2+2a﹣1=0,解得a=﹣1±,∵0<a<1,∴a=﹣1+;

(3)對(duì)于任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)>0恒成立,

即有f(t2﹣2t)>﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),

f(x)在(﹣1,1)遞增,

可得t2﹣2t>k﹣2t2,且﹣1<t2﹣2t<1,﹣1<k﹣2t2<1,

可得k<3t2﹣2t的最小值,

3t2﹣2t=3(t﹣2,可得t=,取得最小值﹣,可得k<﹣.檢驗(yàn)成立.

k的取值范圍是(﹣∞,﹣).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù),xy的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下:

x

3

2

1

0

1

2

3

y

2

m

2

1

2

1

2

其中,m  

2)根據(jù)上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn),畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分,請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分.

3)觀察函數(shù)圖象,寫(xiě)出兩條函數(shù)的性質(zhì)./p>

4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):

①方程﹣x2+2|x|+10  個(gè)實(shí)數(shù)根;

②關(guān)于x的方程﹣x2+2|x|+1a4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí),a的取值范圍是  

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處罰金額(單位:元)

5

10

15

20

會(huì)闖紅燈的人數(shù)

50

40

20

0

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.

(1)當(dāng)處罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少?

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給出下列四種說(shuō)法:

①圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并提高成本;

②圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是:保持票價(jià)不變,并降低成本;

③圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并保持成本不變;

④圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并降低成本.

其中,正確的說(shuō)法是____________.(填寫(xiě)所有正確說(shuō)法的編號(hào))

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2)若關(guān)于的方程在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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