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已知函數f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是減函數,在(0,1)上是增函數,函數f(x)在R上有三個零點,且1是其中一個零點.
(1)求b的值      (2)求f(2)的取值范圍

(1) b=0(2)

解析試題分析:(1)由,得:,根據題設可判定,從而解得
(2)由(1)知:,由,所以,
因為函數在(-∞,0)上是減函數,在(0,1)上是增函數,函數f(x)在R上有三個零點,且1是其中一個零點,所以的零點,得到函數解析式所剩唯一參數的取值范圍,進而可求的取值范圍.
試題解析:
(1)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,
∴f ′(x)=-3x2+2ax+b.     3分
∵f(x)在(-∞,0)上是減函數,在(0,1)上是增函數,
∴當x=0時,f(x)取到極小值,即f ′(0)=0,
∴b=0.      6分
(2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,
∵1是函數f(x)的一個零點,即f(1)=0,∴c=1-a.
∵f′(x)=-3x2+2ax=0的兩個根分別為x1=0,x2.     9分
又∵f(x)在(-∞,0)上是減函數,在(0,1)上是增函數,且函數f(x)在R上有三個零點,
應是f(x)的一個極大值點,因此應有x2>1,即a>.
∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7>.
故f(2)的取值范圍為.     13分
考點:導數在研究函數性質中的應用.

練習冊系列答案
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已知
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