【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的極值;

2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3)判斷函數(shù)是否存在公切線,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,如果存在請(qǐng)指出公切線的條數(shù)

【答案】1)當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極值;當(dāng)時(shí),函數(shù)的極小值為,無(wú)極大值.2)當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間為,無(wú)遞減區(qū)間;當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.3)存在,兩條

【解析】

1)求導(dǎo)后,對(duì)分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)的可得結(jié)果;

2)求導(dǎo)后,對(duì)分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得單調(diào)區(qū)間;

3)設(shè)它們的公切線與切于,與切于,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出它們的切線,根據(jù)兩條直線重合可得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.

1,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)上遞減,此時(shí)函數(shù)無(wú)極值;

當(dāng)時(shí),由,得,由,得,

所以函數(shù)處取得極小值,極小值為,無(wú)極大值,

綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極值;當(dāng)時(shí),函數(shù)的極小值為,無(wú)極大值.

2,定義域?yàn)?/span>

,

當(dāng),即時(shí),,函數(shù)的遞增區(qū)間為,無(wú)遞減區(qū)間;

當(dāng),即時(shí),由,得,解得,

,得,解得

所以函數(shù)的增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.

綜上所述:當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間為,無(wú)遞減區(qū)間;

當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.

3)函數(shù)存在兩條公切線,

理由如下:

假設(shè)它們的公切線與切于,與切于,

因?yàn)?/span>,

所以在點(diǎn)處的切線方程為,即

在點(diǎn)處的切線方程為,即

根據(jù)兩條切線重合可得,消去可得

,則

所以上遞增,

因?yàn)?/span>時(shí),,時(shí),,所以函數(shù)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),

因?yàn)?/span>時(shí), ,時(shí),,

所以函數(shù)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),

所以上各有一個(gè)實(shí)根,

所以它們的公切線有且只有兩條.

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