Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．
（1）求證：EF⊥平面BCF；
（2）點M在線段EF上運動，當點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，設AD=CD=BC=1，

又∵ ，∴AB=2，

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．

∴AB2=AC2+BC2．則BC⊥AC．

∵CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，

∴AC⊥平面BCF．

∵EF∥AC，

∴EF⊥平面BCF；

（2）解：分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（ ），

則C（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），

∴ =（﹣ ，1，0）， =（λ，﹣1，1），

設 =（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，

由 得 ，取x=1，則 =（1， ， ），

∵ =（1，0，0）是平面FCB的一個法向量，

∴cos＜ ＞= = ．

∵ ，∴當λ=0時，cosθ有最小值為 ，

∴點M與點F重合時，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）在梯形ABCD中，設AD=CD=BC=1，由題意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，滿足AB2=AC2+BC2，得則BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由線面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．進一步得到EF⊥平面BCF；（2）分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（ ），得到C，A，B，M的坐標，求出平面MAB的一個法向量，由題意可得平面FCB的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當λ=0時，cosθ有最小值為 ，此時點M與點F重合．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．