【題目】如圖多面體ABCD中,面ABCD為正方形,棱長AB=2,AE=3,DE= ,二面角E﹣AD﹣C的余弦值為 ,且EF∥BD.
(1)證明:面ABCD⊥面EDC;
(2)若直線AF與平面ABCD所成角的正弦值為 ,求二面角AF﹣E﹣DC的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵AB=2,AE=3, ∴AD2+DE2=AE2∴AD⊥DE

又ABCD為正方形,∴AD⊥DC,

從而AD⊥平面EDC,

于是面ABCD⊥面EDC.


(2)解:由(1)知AD⊥DE,AD⊥DC,

∴∠EDC是二面角E﹣AD﹣C的平面角.

作EO⊥DC交DC于O,則AO=DEcos∠EDO=1,

且EO⊥面ABCD.取AB中點(diǎn)M,則OM⊥DC.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立直角坐標(biāo)系O﹣xyz.

于是,E(0,0,2),D(0,﹣1,0),B(2,1,0),A(2,﹣1,0);

, , ;

又面ABCD的一個法向量為: =(0,0,1),

設(shè)直線AF與平面ABCD所成角為θ,

得λ=0(舍去)或

,

設(shè)面AEF的法向量為 ,則

取y=2,∴ ;

又面EDC的一個法向量為 ,

又二面角AF﹣E﹣DC為銳角,所以其余弦值為


【解析】(1)通過證明AD⊥DE,AD⊥DC,推出AD⊥平面EDC,得到面ABCD⊥面EDC.(2)說明∠EDC是二面角E﹣AD﹣C的平面角.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立直角坐標(biāo)系O﹣xyz.求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),ABCD的一個法向量為: =(0,0,1),設(shè)直線AF與平面ABCD所成角為θ,利用向量的數(shù)量積求解即可.求出面AEF的法向量,面EDC的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解二面角AF﹣E﹣DC的余弦值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直).

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