Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的方程為ρsin²θ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為

x=-2+tcosα y=-4+tsinα

（t為參數(shù)），α為銳角．
（1）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（-2，-4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求直線l的普通方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先，根據(jù)曲線C的參數(shù)方程直接化簡(jiǎn)即可；
（2）借助于直線中參數(shù)的幾何意義求解即可．

解答： 解：（1）由曲線C的方程為ρsin²θ=2cosθ，得
ρ²sin²θ=2ρcosθ，
∴y²=2x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程：y²=2x，
（2）由直線l的參數(shù)方程為

x=-2+tcosα y=-4+tsinα

（t為參數(shù)），
代入y²=2x，得
sin²αt²-（8sinα+2cosα）t+20=0，
∴t₁t₂=

20

sin2α

，
根據(jù)直線的參數(shù)的幾何意義，得
|PM|．|PN|=t₁t₂=

20

sin2α

，
|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|MN|²=|PM||PN|=

20

sin2α

，
∴|MN|=

2 5

sinα

，
|MN|²=（t₁-t₂）²，
∴（t₁+t₂）²-4t₁t₂=t₁t₂
∴（8sinα+2cosα）²=100sin²α，
∴9sin²α-8sinαcosα-cos²α=0，
∴9tan²α-8tanα-1=0，
∴tanα=1或tanα=-

1

9

，
∵α為銳角，
∴tanα=1，∴α=

π

4

，
∴sinα=cosα=

2

2

，
∴直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
∴直線的普通方程為：x-y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化、直線的參數(shù)方程的幾何意義等知識(shí)，屬于中檔題．