Question

已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值．

Answer 1

考點：一般形式的柯西不等式

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：方法一、運用換元法，令u=x+y，v=x-y，由條件得到u²+v²=4，從而運用柯西不等式求出最小值；
方法二、由條件得到（x+y）²+（x-y）²=4，再根據柯西不等式求出最小值，注意等號成立的條件．

解答： 解法1：令u=x+y，v=x-y，則x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，
∵x²+y²=2，∴（u+v）²+（u-v）²=8，∴u²+v²=4，
由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，
當且僅當u²=v²=2，即x=±

2

，y=0，或x=0，y=±

2

時，

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值是1．
解法2：∵x²+y²=2，∴（x+y）²+（x-y）²=4，
∵((x+y)2+(x-y)2)(

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

)≥4，
∴

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

≥1，
當且僅當x=±

2

，y=0，或x=0，y=±

2

時  

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值是1．

點評：本題考查一般形式的柯西不等式的運用，注意觀察和變形，同時注意等號成立的條件和最值的取得．