Question

已知函數(shù)f（x）=|x²+3x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x-1|的圖象利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
作出函數(shù)y=f（x），y=g（x）=a|x-1|的圖象，
當(dāng)a≤0，不滿(mǎn)足條件，
則a＞0，此時(shí)g（x）=a|x-1|=

a(x-1) x≥1 -a(x-1) x＜1

，
當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，f（x）=-x²-3x，g（x）=-a（x-1），
當(dāng)直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)-x²-3x=-a（x-1），
即x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a=0，即a²-10a+9=0，解得a=1或a=9，
當(dāng)a=9時(shí)，g（x）=-9（x-1），g（0）=9，此時(shí)不成立，∴此時(shí)a=1，
要使兩個(gè)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)0＜a＜1，
若a＞1，此時(shí)g（x）=-a（x-1）與f（x），有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)只需要當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即可，
即x²+3x=a（x-1），整理得x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a＞0，即a²-10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
綜上a的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
若x=1，則4=0不成立，
故x≠1，
則方程等價(jià)為a=

f(x)

|x-1|

=

|x2+3x|

|x-1|

=|

(x-1)2+4(x-1)+5

x-1

|=|x-1+

4

x-1

+5|，
設(shè)g（x）=x-1+

4

x-1

+5，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=x-1+

4

x-1

+5≥2

(x-1) 4 x-1

+5=4+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

4

x-1

，即x=3時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）=x-1+

4

x-1

+5≤5-2

[-(x-1)]• -4 x-1

=5-4=1，當(dāng)且僅當(dāng)-（x-1）=-

4

x-1

，即x=-1時(shí)取等號(hào)，
則|g（x）|的圖象如圖：
若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，
則滿(mǎn)足a＞9或0＜a＜1，
故答案為：（0，1）∪（9，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．