Question

已知{a_n}是等差數(shù)列,a₁=2,a₂=3,若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入3個(gè)數(shù),使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列,
(1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)?
(2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)?

Answer 1

(1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第45項(xiàng).
(2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng).

數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列問題的重要工具.能否由條件找到兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決此題的關(guān)鍵.
∵數(shù)列{a_n}中a₁=2,d=a₂-a₁=3-2=1,
∴a_n=a₁+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.
設(shè)新數(shù)列為{b_n},公差為d′,據(jù)題意知b₁=2,b₅=3,
則d′===,
∴b_n=2+(n-1)×=+.
(1)a₁₂=12+1=13,令+=13,得n=45,故原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第45項(xiàng).
(2)b₂₉=+=9,令n+1=9,得n=8,故新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng).