Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，-sinβ）．
（1）若α=

π

2

，β=-

π

6

，求向量

a

與

b

的夾角；
（2）若

a

•

b

=

2

2

，tanα=

1

7

，且α，β為銳角，求tanβ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)向量a，b，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合兩角和的余弦公式，同角的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，再由tanβ=tan[（α+β）-α]，運(yùn)用兩角差的正切公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：（1）若α=

π

2

，β=-

π

6

，
則

a

=（0，1），

b

=（

3

2

，

1

2

），
cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1 2

1×1

=

1

2

，
由0≤＜

a

，

b

＞≤π，則有向量

a

與

b

的夾角

π

3

；
（2）若

a

•

b

=

2

2

，
則cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

，
即有cos（α+β）=

2

2

．
由于α，β為銳角，即0＜α+β＜π，
則sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

1- 1 2

=

2

2

，
即有tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=1，
由tanα=

1

7

，則tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

1- 1 7

1+ 1 7

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和夾角公式，考查兩角和的余弦公式，兩角差的正切公式，考查角的變換方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．