Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2+2S_n=3a_n（n∈N^*．數(shù)列b_n=

1，n=1 an-1 n ，n≥2

（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）若對于任意n∈N^*，不等式b_n≥（n+1）λ恒成立，求實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式、等比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出；
（2）bn=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，可得n=1時，1=b₁≥2λ，解得λ≤

1

2

；n≥2時，

2×3n-2

n

≥（1+n）λ，化為λ≤

2×3n-2

n(n+1)

．令f（n）=

2×3n-2

n(n+1)

，利用其單調性即可得出．

解答： 解：（1）當n=1時，2+2a₁=3a₁，解得a₁=2．
當n≥2時，滿足2+2S_n=3a_n（n∈N^*），2+2S_n-1=3a_n-1，
∴2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴

an

an-1

=3．
∴數(shù)列{a_n}為以2為首項，公比為3的等比數(shù)列．
（2）bn=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，
①n=1時，1=b₁≥2λ，解得λ≤

1

2

；
②n≥2時，

2×3n-2

n

≥（1+n）λ，化為λ≤

2×3n-2

n(n+1)

．
令f（n）=

2×3n-2

n(n+1)

，
則f（n+1）-f（n）=

4×3n-2(n-1)

n(n+1)(n+2)

≥0，（n≥2）．
∴f（n）（n≥2）為遞增數(shù)列f（n）_min=

1

3

（n≥2），從而λ≤

1

3

．
由①，②知λ≤

1

3

．
∴λ的最大值為

1

3

．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的定義通項公式、數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．