Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最值;

（2）若，且對任意恒成立，求的最大值（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性從而求得函數(shù)的最值；

（2）依題意可得對任意恒成立，參變分離可得對任意恒成立．令利用導數(shù)說明其單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；

解：（1）的定義域為，

，

令，得；令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又，，顯然，

所以，．

（2）因為對任意恒成立，

所以對任意恒成立，

所以對任意恒成立．

令，則．

由于，所以在上單調(diào)遞增．

又，，

所以存在唯一的，使得，且當時，；當時，

．

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．

又，即，所以．

所以．

因為，所以

又因為對任意恒成立，所以．

又，所以．