【題目】已知函數(shù)fx)=log2x+a).

(Ⅰ)當(dāng)a=1時,若fx)+fx-1)>0成立,求x的取值范圍;

(Ⅱ)若定義在R上奇函數(shù)gx)滿足gx+2)=-gx),且當(dāng)0≤x≤1時,gx)=fx),求gx)在[-3,-1]上的解析式,并寫出gx)在[-3,3]上的單調(diào)區(qū)間(不必證明);

(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的gx),若關(guān)于x的不等式g)≥g(-)在R上恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】(I);(II)見解析;(III).

【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時,可化為,解不等式組可得答案

(II)根據(jù)已知可得,在結(jié)合條件求得的解析式,進(jìn)而分析出上的單調(diào)區(qū)間

(III)關(guān)于的不等式上恒成立,即,分類討論后,綜合討論結(jié)果,可得答案

解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時,fx)=log2x+1).

fx-1)=log2x,

fx)+fx-1)=log2x+1)+log2x=log2[xx+1)],

fx)+fx-1)>0,則,

解得:x∈(,+∞),

x的取值范圍為(,+∞);

(Ⅱ)∵函數(shù)gx)是定義在R上奇函數(shù),

g(0)=0,

又∵當(dāng)0≤x≤1時,gx)=fx)=log2x+a).

a=1,

當(dāng)x∈[-2,-1]時,x+2∈[0,1],

gx)=-gx+2)=-log2x+3).

當(dāng)x∈[-3,-2]時,x+2∈[-1,0],-(x+2)∈[0,1],

gx)=-gx+2)=g[-(x+2)]=log2[-(x+2)+1]=log2(-x-1).

gx)=,

gx)在[-3,-1]和[1,3]上遞減,在[-1,1]上遞增;

III)記u==-+

當(dāng)t+1≥0時,u∈(-,-+)=(-),

g)≥g(-)在R上恒成立可得:(-,[,],

解得:t∈[-1,20].

當(dāng)t+1<0時,u∈(-+,-)=(,-),

g)≥g(-)在R上恒成立可得:(,-[.],

解得:t∈[-4,-1).

綜上所述實數(shù)t的取值范圍為[-4,20].

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