Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）令，若曲線在點(diǎn)處的切線的縱截距為，求的值；

（2）設(shè)，若方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】

（1）求得在點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)切線的截距為列方程，解方程求得的值.

（2）將方程轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用研究函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（1）由題設(shè)知，

，，

則；

∴，又，

∴切點(diǎn)為，

則切線方程為，

令，則，

由題設(shè)知，，

∴；

（2）∵，∴，

則方程，

即為，

即為；

令，于是原方程在區(qū)間內(nèi)根的問題，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)問題；

∵

；

∵，∴當(dāng)時，

，是減函數(shù)，

當(dāng)時，，是增函數(shù)，

若使在內(nèi)有且只有兩個不相等的零點(diǎn)，

只需即可，

解得，，

即的取值范圍是.