【題目】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為等腰三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中，另一條過的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不與重合），且點(diǎn)不與點(diǎn)重合. 過作軸的垂線分別交直線，于,.

①求點(diǎn)坐標(biāo)； ②求證：.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） 見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)已知求出，即得橢圓方程為. （Ⅱ）①由 可求. ②當(dāng)與軸垂直時(shí)，兩點(diǎn)與,兩點(diǎn)重合，由橢圓的對(duì)稱性，. 當(dāng)不與軸垂直時(shí)，聯(lián)立直線和橢圓方程證明，即.

（Ⅰ）由已知，，得，，

為等腰三角形， ，

則 解得，

橢圓方程為.

（Ⅱ）①由題意可得直線的方程為.

與橢圓方程聯(lián)立,由 ，可求.

②當(dāng)與軸垂直時(shí)，兩點(diǎn)與,兩點(diǎn)重合，由橢圓的對(duì)稱性，.

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，

設(shè)，，的方程為（）.

由消去，整理得.

則，.

由已知，，則直線的方程為，

令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).

把代入得.

由已知，，則直線的方程為,

令，得點(diǎn) 的縱坐標(biāo).

把代入得.

,

把，代入到中，

=.

即，即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）令，若曲線在點(diǎn)處的切線的縱截距為，求的值；

（2）設(shè)，若方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體中，E是線段的中點(diǎn)，，，.

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】由于《中國詩詞大會(huì)》節(jié)目在社會(huì)上反響良好，某地也模仿并舉辦民間詩詞大會(huì)，進(jìn)入正賽的條件為：電腦隨機(jī)抽取10首古詩，參賽者能夠正確背誦6首及以上的進(jìn)入正賽．若詩詞愛好者甲、乙參賽，他們背誦每一首古詩正確的概率均為．

（1）求甲進(jìn)入正賽的概率．

（2）若參賽者甲、乙都進(jìn)入了正賽，現(xiàn)有兩種賽制可供甲、乙進(jìn)行PK，淘汰其中一人．

賽制一：積分淘汰制，電腦隨機(jī)抽取4首古詩，每首古詩背誦正確加2分，錯(cuò)誤減1分．由于難度增加，甲背誦每首古詩正確的概率為，乙背誦每首古詩正確的概率為，設(shè)甲的得分為，乙的得分為．

賽制二：對(duì)詩淘汰制，甲、乙輪流互出詩名，由對(duì)方背誦且互不影響，乙出題，甲回答正確的概率為0.3，甲出題，乙回答正確的概率為0.4，誰先背誦錯(cuò)誤誰先出局．

（i）賽制一中，求甲、乙得分的均值，并預(yù)測(cè)誰會(huì)被淘汰；

（ii）賽制二中，誰先出題甲獲勝的概率大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”的號(hào)召，某貧困縣在精準(zhǔn)推進(jìn)上下功夫，在精準(zhǔn)扶貧上見實(shí)效.根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂蛱攸c(diǎn)大力發(fā)展中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè)，藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆蟲大量活動(dòng)與繁殖，易于采取各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（單位：個(gè)）與一定范圍內(nèi)的溫度x（單位：℃）有關(guān)，于是科研人員在3月份的31天中隨機(jī)選取了5天進(jìn)行研究，現(xiàn)收集了該種藥物昆蟲的5組觀察數(shù)據(jù)如表：

日期

2日

7日

15日

22日

30日

溫度/℃

10

11

13

12

8

產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)

22

24

29

25

16

（1）從這5天中任選2天，記這2天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為m，n，求“事件m，n均不小于24”的概率？

（2）科研人員確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中任選2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

①若選取的是3月2日與3月30日這2組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)3月7日、15日和22日這三組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程？

②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值均不超過2個(gè)，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問①中所得的線性回歸方程是否可靠？

附公式：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當(dāng)時(shí)武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護(hù)物資庫存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機(jī)，南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護(hù)物資，得知消息后，立即決定無償捐贈(zèng)這批醫(yī)用防護(hù)物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運(yùn)至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)2000輛汽車，通過這兩條路線從南昌到武漢所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時(shí)間（單位：小時(shí)）

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車A只能在約定交貨時(shí)間的前5小時(shí)出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時(shí)間的前6小時(shí)出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時(shí)間送達(dá)這批物資，來確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬元、1.6萬元，且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬元（其他費(fèi)用忽略不計(jì)），以上費(fèi)用均由生產(chǎn)商承擔(dān)，作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達(dá)時(shí)間分別計(jì)分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立，互不影響）：

到達(dá)時(shí)間與約定時(shí)間的差x（單位：小時(shí)）

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運(yùn)輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運(yùn)輸物資，記該生產(chǎn)商在此次援助活動(dòng)中援助總額為Y（萬元），求隨機(jī)變量Y的期望值，（援助總額一次性費(fèi)用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，，，，已知，分別是，的中點(diǎn)，將沿折起，使到的位置如圖所示，且，連接，．

（1）求證：平面平面．

（2）求平面與平面所成銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為.

（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；

（2）若則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為次，則理論上至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且周長為8.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在直線，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案