【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)ex+ax2有兩個(gè)零點(diǎn). (Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)x1 , x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明x1+x2<0.

【答案】解:(Ⅰ)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a) (i)當(dāng)a>0時(shí),
函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.
∵f(0)=﹣1<0,f(2)=e2+4a>0,
取實(shí)數(shù)b滿足b<﹣2且b<lna,則f(b)>a(b﹣1)+ab2=a(b2+b﹣1)>a(4﹣2﹣1)>0,
所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)
(ii)若a=0,則f(x)=(x﹣1)ex , 故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)
(iii)若a<0,由(I)知,
當(dāng) ,則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,又當(dāng)x≤0時(shí),f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng) ,則函數(shù)在(ln(﹣2a),+∞)單調(diào)遞增;在(0,ln(﹣2a))單調(diào)遞減.又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,故不存在兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,a的取值范圍是(0,+∞).
證明:(Ⅱ)不妨設(shè)x1<x2
由(Ⅰ)知x1∈(﹣∞,0),x2∈(0,+∞),﹣x2∈(﹣∞,0),則x1+x2<0等價(jià)于x1<﹣x2
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,
所以x1<﹣x2等價(jià)于f(x1)>f(﹣x2),即證明f(﹣x2)<0.(8分)
,得 ,
令g(x)=(﹣x﹣1)ex+(1﹣x)ex , x∈(0,+∞).
g'(x)=﹣x(ex+ex)<0,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,又g(0)=0,所以g(x)<0,
所以f(﹣x2)<0,即原命題成立
【解析】(Ⅰ)求出f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),通過(guò)(i)當(dāng)a>0時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性,判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù);(ii)若a=0,判斷f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(iii)若a<0,利用單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.(Ⅱ)不妨設(shè)x1<x2 . 推出x1<﹣x2 . 利用函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,證明f(﹣x2)<0.令g(x)=(﹣x﹣1)ex+(1﹣x)ex , x∈(0,+∞).利用g'(x)=﹣x(ex+ex)<0,轉(zhuǎn)化證明即可.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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A.③
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D.①③④

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