【題目】已知點,,點為曲線上任意一點且滿足.

(1)求曲線的方程;

(2)設(shè)曲線軸交于兩點,點是曲線上異于、的任意一點,直線、分別交直線于點、.試問在軸上是否存在一個定點,使得?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(2)存在,其坐標為

【解析】

(1)設(shè)點P(x,y),由條件列出方程化簡得出方程;

(2)根據(jù)題意求出M、N的坐標,表示出直線MR、NR的直線方程,表示出F、G兩點,假設(shè)存在定點S(0,m),利用求出m即可.

解:(1)設(shè),由,

,

整理得.

所以曲線的方程為.

(2)由題意得,,.

設(shè)點,由點在曲線上,

所以.

直線的方程為

所以直線與直線的交點為.

直線的方程為,

所以直線與直線的交點為.

假設(shè)存在點,使得成立,

.

,

整理得.

因為

所以,

解得.

所以存在點使得成立,

的坐標為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),

(1)若關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍;

(2)若當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了解高一學生暑假里在家讀書情況,特隨機調(diào)查了50名男生和50名女生平均每天的閱讀時間(單位:分鐘),統(tǒng)計如下表:

(1)根據(jù)統(tǒng)計表判斷男生和女生誰的平均讀書時間更長?并說明理由;

(2)求100名學生每天讀書時間的平均數(shù),并將每天平均時間超過和不超過平均數(shù)的人數(shù)填入下列的列聯(lián)表:

(3)根據(jù)(2)中列聯(lián)表,能否有99%的把握認為“平均閱讀時間超過或不超過平均數(shù)是否與性別有關(guān)?”

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某運動員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為,命中8環(huán)以下的概率為,現(xiàn)用隨機模擬的方法估計該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率:先由計算器產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán),6、7、8、9表示命中8環(huán)以下,再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次射擊的結(jié)果,產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):

據(jù)此估計,該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率為(

A. B.

C. D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生性別與愛好某項運動是否有關(guān),通過隨機調(diào)查200名高中生是否愛好某項運動,利用列聯(lián)表,由計算可得,參照下表:

0.01

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5,024

6.635

7.879

10.828

得到的正確結(jié)論是(

A. 99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)

B. 99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

C. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

D. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓經(jīng)過橢圓 的兩個焦點和兩個頂點,點 , 是橢圓上的兩點,它們在軸兩側(cè),且的平分線在軸上, .

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)證明:直線過定點.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)直線過定點.

【解析】試題分析】(I)根據(jù)圓的半徑和已知 ,,由此求得橢圓方程.(II)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點.

試題解析】

(Ⅰ)圓軸交點即為橢圓的焦點,圓軸交點即為橢圓的上下兩頂點,所以, .從而

因此橢圓的方程為: .

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為.

,消去.

設(shè), ,則, .

直線的斜率 ;

直線的斜率 .

.

的平分線在軸上,得.又因為,所以,

所以.

因此,直線過定點.

[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關(guān)系,考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 涉及直線與橢圓的基本題型有:(1)位置關(guān)系的判斷.(2)弦長、弦中點問題.(3)軌跡問題.(4)定值、最值及參數(shù)范圍問題.(5)存在性問題.常用思想方法和技巧有:(1)設(shè)而不求.(2)坐標法.(3)根與系數(shù)關(guān)系.

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù),且).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中,圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為 .

(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程;

( Ⅱ ) 設(shè)直線軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.

【答案】(1);.

(2).

【解析】試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標方程展開后化簡得直角坐標方程.(II)求得兩點的坐標, 設(shè)點,代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.

試題解析】

(Ⅰ)圓的參數(shù)方程為為參數(shù)).

直線的直角坐標方程為.

(Ⅱ)由直線的方程可得點,點.

設(shè)點,則 .

.

由(Ⅰ)知,則 .

因為,所以.

型】解答
結(jié)束】
23

【題目】選修4-5:不等式選講

已知函數(shù) .

(Ⅰ)若對于任意, 都滿足,求的值;

(Ⅱ)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當時, ;當時, .

【解析】試題分析】(I)利用的二階導數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

試題解析】

(Ⅰ)

設(shè) ,則.

, ,∴上單調(diào)遞增,

從而得上單調(diào)遞增,又∵,

∴當時, ,當時, ,

因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

由此可知.

,

.

設(shè)

.

∵當時, ,∴上單調(diào)遞增.

又∵,∴當時, ;當時, .

①當時, ,即,這時,

②當時, ,即,這時, .

綜上, 上的最大值為:當時, ;

時, .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

型】解答
結(jié)束】
22

【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中,圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為 .

(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程;

( Ⅱ ) 設(shè)直線軸和軸的交點分別為為圓上的任意一點,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】拋物線的焦點為,點為拋物線上一點,且不在直線上,則周長的最小值為____

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同步練習冊答案