Question

已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)在橢圓上，且，定點(diǎn).

（1）求證：當(dāng)時；

（2）若當(dāng)時有，求橢圓的方程；

（3）在（2）的橢圓中，當(dāng)、兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點(diǎn)所在直線方程，若不存在，給出理由.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）（3）存在，最大值為，直線方程為，或

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，從而可得各向量的坐標(biāo)。當(dāng)時，可得與，與間的關(guān)系。將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合與，與間的關(guān)系可得，即（2）當(dāng)時由（1）知且故可設(shè)。根據(jù)和及解方程組可求得的值。（3）根據(jù)向量數(shù)量積公式及三角形面積公式分析可知。設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去 整理為關(guān)于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系。從而可用表示。用配方法求最值。注意討論直線斜率不存在和斜率為0兩種特殊情況。

（1）設(shè)，則，

當(dāng)時，，

由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，

若，則舍，

（2）當(dāng)時，不妨設(shè)

又，

，橢圓C的方程為

（3），

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立，得，

記 ，

則

，當(dāng)，即時取等號 ．

并且，當(dāng)k=0時，

當(dāng)k不存在時

綜上有最大值，最大值為

此時，直線的方程為，或

考點(diǎn)：1向量的數(shù)量積；2橢圓的簡單幾何性質(zhì)及方程；3直線與橢圓的位置關(guān)系。