【題目】已知函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為,與此交點(diǎn)距離最小的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.

(Ⅰ)求函數(shù)的表達(dá)式;

(Ⅱ)若函數(shù)滿足方程,求方程在內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和;

(Ⅲ)把函數(shù)的圖像的周期擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍,然后向右平移個(gè)單位,再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍,最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖像若對(duì)任意的,方程在區(qū)間上至多有一個(gè)解,求正數(shù)k的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)依題意作出部分函數(shù)圖像,由最大值確定A,周期確定,特殊點(diǎn)確定即可求出解析式;(Ⅱ)由周期知內(nèi)恰有2個(gè)周期,則方程有四個(gè)根,結(jié)合圖像利用對(duì)稱軸即可求出所有根的和;(Ⅲ)根據(jù)三角函數(shù)的圖像變化,數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

(Ⅰ)從圖知,函數(shù)的最大值為1,則

函數(shù)的周期為,而,則

時(shí),,

解得,而,則,

∴函數(shù)的表達(dá)式為.

(Ⅱ)的周期為

內(nèi)恰有2個(gè)周期,

并且方程內(nèi)有4個(gè)實(shí)根設(shè)為

結(jié)合圖像知.

故所有實(shí)數(shù)之和為.

(Ⅲ)先把的圖像的周期擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍,得到,然后向右平移個(gè)單位得到,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍再向上平移1個(gè)單位得到,

函數(shù)的圖象如圖所示,

則當(dāng)圖象伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍以上時(shí)符合題意,所以.

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