解:(Ⅰ)設橢圓的標準方程為
,------------------1分
依題意知直線AB的斜率存在,故設直線AB:y=k(x+4)
------------------2分
因圓
的圓心為(2,0),半徑
,又因為直線AB與圓相切
所以,圓心為(2,0)到直線AB的距離為
------------------3分
解得
(
為直線AC的斜率)
所以直線AB的方程為
,------------------4分
又因為AB=AC,點A(-4,0)在x軸上,所以B點橫坐標為
,
把
代入直線AB的方程解得
,
------------------5分
把A(-4,0),
代入橢圓方程得
,解得m=16,
n=1----------6分
所以橢圓的標準方程為
.------------------
7分
(Ⅱ)設點M
,則圓心(2,0)與點M的距離為
-8分
切線長
,
,--10分
當
時,
, ------------------12分
此時
,從而點
的坐標為
------------------14分
解法二:(Ⅰ)因為AB=AC,點A(-4,0)在x軸上,且
的內切圓方程為
,
所以B點橫坐標為
,-----------------1分
如圖,由三角形內切圓的性質知
∽
∴
即
,從而
------------------3分
當橢圓的焦點在
軸上時,設橢圓方程為
,則將A(-4,0),
代入橢圓方程得
,解得
=16,
="1" ,
∴橢圓的標準方程為
--5分
當橢圓的焦點在
軸上時,設橢圓方程為
,則將A(-4,0),
代入橢圓方程得
,解得
=16,
=
與
矛盾----------6分
綜上所述,所求橢圓的標準方程為
.------------------7分
(Ⅱ) 依題意設點M
,則圓心(2,0)與點M
的距離為
------8分
則切線長
,而
,---------10分
當
時,
,-----12分
此時
,從而點
的坐標為
-----14分