Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

a

+

2

x

．
（Ⅰ）判斷f（x）在（0，+∞）上的增減性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，解關(guān)于x的不等式f（|x|）≥0；
（Ⅲ）若f（x）+2x≤0在（-∞，0）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,其他不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）定義法：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂．利用作差可得f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，結(jié)合定義可得結(jié)論；
（Ⅱ）先求|x|的范圍，再解x的范圍；
（Ⅲ）f（x）+2x≤0可化為

1

a

≥

2

x

+2x，則問題轉(zhuǎn)化為

1

a

≥(

2

x

+2x)min，利用基本不等式可求最小值；

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)減．證明如下：
證明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴

2(x2-x1)

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)減；
（Ⅱ）a=1時，f（x）=-1+

2

x

，
f（|x|）≥0即-1+

2

|x|

≥0，

|x|-2

|x|

≤0，得0＜|x|≤2，
∴-2≤x＜0或0＜x≤2，
∴不等式的解集為{x|-2≤x＜0或0＜x≤2}；
（Ⅲ）f（x）+2x≤0，即

1

a

≥

2

x

+2x在（-∞，0）上恒成立，
而

2

x

+2x≤-2

2 -x •(-2x)

=-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號，
∴

1

a

≥-4，解得a≤-

1

4

或a＞0．

點(diǎn)評：該題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立及不等式的解法，考查基本不等式求函數(shù)最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．